DLMを用いた動的回帰

概要

・回帰分析における回帰係数が動的に変動する動的回帰というものをやってみる
・というかほとんどネタ消化モード
・データはいつものNFPとADP。ADPのほうが先に公表されるので、ADPを使って同月のNFPが予測できたら嬉しい

データの準備

NFPのデータはこちら
All Employees: Total nonfarm – FRED – St. Louis Fed
https://research.stlouisfed.org/fred2/series/PAYEMS/

ADPのデータはこちら
Total Nonfarm Private Payroll Employment – FRED – St. Louis Fed
https://research.stlouisfed.org/fred2/series/nppttl/

diffをとって、両系列が入手可能な2001年5月から一応データの確認。
黒線がNFP, 赤線がADPとなります。
ココらへんはいつもの作業

140420_1

モデル式

動的回帰ですので回帰係数が動的に変動します。
イメージとしては以下の様な感じですかねえ

$$
{\rm NFP}_t = \beta_{1,t} + \beta_{2,t} \cdot {\rm ADP}_t + v_t \\
v_t \sim N \left( 0, \sigma_v^2 \right)
$$

また、回帰係数はランダムウォークに従うという仮定でして、

$$
\beta_{1, t} = \beta_{1, t-1} + w_{1, t} \\
\beta_{2, t} = \beta_{2, t-1} + w_{2, t} \\
w_{i, t} \sim N \left(0, \sigma_{w,i}^2 \right)
$$

まあこんな感じと。
一般的には回帰係数がランダムウォークでない形になるかと思うのですが、Rのパッケージdlmがランダムウォークにしか対応していないようなので、今回はこの形でご勘弁ということで。

未知パラメータ推定

今回は回帰式における\( v \)の標準偏差\( \sigma_v \)、回帰係数ランダムウォークの標準偏差 \( \sigma_{w, 1}, \sigma_{w, 2} \)が未知となりますのでこちらを最尤推定

動的回帰において、dlmモデルを構築する関数はdlmModRegとなりまして、第一引数には説明変数のマトリックスを代入します。
そして、各未知パラメータは非負制約がありますのでexpをかませています。
ドキュメントによると重回帰もいけるようなので誰かお願いします。

あとはdlmMLEで最尤推定します。
dlmMLEの第一引数には非説明変数であるNFPのデータを代入します。

で、推定された数字をもとにdlmを構築し、パラメータを確認すると以上のようになります。
分散が7177.945ですんで、標準偏差が84.7と。元の数字が雇用者数の伸びで100とか200とかの値であることを考えるとだいぶブレますな…(― ―)(― ―)(― ―)

カルマンスムーザで回帰係数が過去どのように推移していたかを見る

平滑化ですな、

140420_2

プロットすると以上のようになりまして、上が\(\beta_{1, t} \)、下が\( \beta_{2, t} \)の推移となります。
まず\( \beta_{2, t} \)から先に見ると、これ推移しているように見えますが縦軸みるとスケールがかなり細かいことになっていましてこれはほとんど0.957から動いていませんな。ということで、ADPの96%掛けがNFPに大体なりますと。

で、次に切片項の\(\beta_{1, t} \)を見ると、2000年前半は値が10を超えていまして、NFPのほうがADP*0.96よりも上方にでる傾向があったということですかねえ。まあ回帰式の標準偏差が84.7だったんでアレですが。それと直近は\(\beta_{1, t} \)の値も0に近くなっていて、NFPとADP*0.96の差が無くなってきていることを示唆しているということなんですかね。まあ回帰式の標準偏差(略

1期先回帰

で、お馴染みの1期先回帰でありますが、まだADPが発表されていないので予測はできませんが回帰係数がランダムウォークなので回帰係数の期待値自体は求めることができまして、

まずデータの方が

となっておりまして、回帰係数のほうが

となりますので、
$$
{\rm NFP}_{Apr-2014} = 1.22 + 0.96 \cdot {\rm ADP}_{Apr-2014}
$$

という感じですかな。まあ回帰式の(略

参考文献

Amazon.co.jp: Rによるベイジアン動的線形モデル (統計ライブラリー): G.ペトリス, S.ペトローネ, P.カンパニョーリ, 和合 肇, 萩原 淳一郎: 本
http://www.amazon.co.jp/dp/4254127960