ドル円ボラティリティをGARCHで推定 その2(正規分布、t分布)

概要

・GARCH(1,1)パラメータ推定続き 正規分布とt分布の場合
・GARCHパラメータ標準誤差の計算
・fGarchパッケージとの推定結果の比較。概ね良さそうに見える

モデル

前回(http://nekopuni.holy.jp/?p=1146)で行なった推定をもう少し一般的に。
$$
y_t = \mu + \epsilon \\
\epsilon_t \sim iid, E \left( \epsilon_t \right) = 0, V \left( \epsilon_t \right) = \sigma_t^2 \\
\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=0}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^q \alpha_j \epsilon_{t-j}^2
$$

\( \epsilon_t \)が正規分布だったのを、iidという仮定にゆるめます。今回は正規分布と、GARCH界隈では一般的なt分布の2パターンでのパラメータ推定を行います。

Rコード

データはドル円。サンプル数が多いと推定に時間がかかるので、2013年以降を使います。

Japan / U.S. Foreign Exchange Rate – FRED – St. Louis Fed
http://research.stlouisfed.org/fred2/series/DEXJPUS

変数yにドル円を格納しているとして、

という感じ。l.normが正規分布のもとでの対数尤度関数を計算する関数、l.tがt分布のもとでの対数尤度関数。
ちなみに一般化t分布(という名前があるのかは知りませんが)の密度関数はdstd関数を使っておりまして、これはfGarchパッケージにて定義されているものです。
非負制約のあるパラメータにはexpをかまして、t分布の自由度には推定結果が2以上になるように、関数eをかましています。

で、推定された結果が以下

上から順に\( \mu, \omega, \alpha, \beta \)でt分布の場合は、自由度がpar[5]に入っています。

次に推定係数の標準誤差の計算。
この計算は参考文献[5]のP33あたりを参考ということで。
対数尤度関数を推定パラメータで数値的に微分したヘシアンを使うと計算できるようです。

ただし、非負制約回避のためにexpをかましている部分があるためにそこだけゴニョゴニョと変数変換。
すると以下の様な値が出てきます。

分布を変えることによるボラティリティの違い

として、適当にプロットしてみると以下のようになります。
直近は正規分布とt分布にズレが出てきてて、t分布の方が上に来ていますね。

140721_1

fGarchパッケージとの比較

tseriesパッケージのgarch関数は正規分布にしか対応していなさそうなので、今回はfGarchパッケージを使用して同様のことをしてみます。

とすると簡単に推定をすることができまして、

ということで、大体あっていそうという感じでしょうか。

メモ

・推定に用いる系列は100倍して単位を%にしたほうが良さそう。
100倍しない場合、桁落ちか何かのせいで最適化が正常に終わらないことが多々^^;;

・optimにてmaxitをそれなりに大きい数字(今回は1000)にしたほうが良い。Nelder-Meadではmaxitのデフォルト値は500なのですが、これだとうまく収束しきれないのか何か知らんがfGarchの推定結果と遠い感じに。あまり深くは立ち入らないことにします笑

参考文献

T. Bollerslev: A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return (1987)
http://www.hss.caltech.edu/~camerer/SS280/BollerslevRES87.pdf

F. Klaassen: Improving GARCH Volatility Forecasts with Regime-Switching GARCH (2001)
http://dare.uva.nl/document/1743

package: fGarch
http://cran.r-project.org/web/packages/fGarch/fGarch.pdf

Student’s t-distribution – Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

Amazon.co.jp: ボラティリティ変動モデル (シリーズ 現代金融工学): 渡部 敏明, 木島 正明: 本
http://www.amazon.co.jp/dp/4254275048