Decompose option PnL into its greeks

Summary

– Decomposition option PnLs into its greeks by using Taylor expansion
– Major greeks attribute to daily PnL are delta, gamma, theta and vega

Taylor expansion

An arbitrary function \( f \left( x \right) \) can be written by below formula:

$$
f \left( x \right) = f \left( a \right) + f^{\left( 1 \right)} \left( a \right) \left( x – a \right) + \frac{f^{\left( 2 \right)} \left( a \right)}{2} \left( x – a \right)^2 + {\rm higher}.
$$

The option present value \( V_t \left( S_t, T, \sigma_t, r_t \right) \) is expressed with its derivatives(option greeks) in a similar manner:

$$
V_t \left( S_t, \tau_t, \sigma_t, r_t \right) = V_{t-1} \left( S_{t-1}, \tau_{t-1}, \sigma_{t-1}, r_{t-1} \right) + \\
\frac{{\partial}V}{{\partial}S_{t-1}}{\rm d}S + \frac{{\partial}V}{{\partial}\tau_{t-1}}{\rm d}\tau + \frac{{\partial}V}{{\partial}\sigma_{t-1}}{\rm d}\sigma + \frac{1}{2} \frac{{\partial}^2V}{{\partial}S_{t-1}^2}{\rm d}S^2 + {\rm residuals},
$$

where \( S_t \) is underlying, \( \tau \) is time to expiry, \( \sigma \) is volatility and \( r \) is interest rate respectively. Usually the effect of the interest rate sensitivity(rho, PV01 sensitivity for swaptions) is limited and included to the “residual” term as well as other higher derivatives.
Daily PnL \( R_t = V_t – V_{t-1} \) is hence written by below formula:

$$
R_t \approx \Delta_{t-1}{\rm d}S + \theta_{t-1}{\rm d}\tau + \nu_{t-1}{\rm d}\sigma + \frac{1}{2} \Gamma{\rm d}S^2.
$$

If you consider stochastic volatility model such as SABR, above equation also holds sensitivity terms to that parameters(volvol, beta, rho). Furthermore, other related greeks including forward-delta, forward-gamma, normal-vega can be applied above interchangeably.

Reference

Taylor series – Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Riding the Swaption Curve by Johan G. Duyvesteyn, Gerben J. De Zwart :: SSRN
http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2008841

R5クラスの定義+オプションGreeks(ベガ周りを主に)の計算

概要

・バニラオプションのGreeks(特にベガ周り)を知っておくと良い気がしてきたので個人的に気になる点のまとめ
・ついでにRでオブジェクト指向チックに書く練習(R5クラスっていうんですかね)

結果

Rのコードは長いので後掲するとして個人的に気になる結果を貼り付ける。
特にベガ周りに触るのは初めてなので違ってたら指摘してくださると有難いです。
対象はプレーンなバニラコールロングです。

1. ボラティリティ水準とガンマの比較
→ ATM付近ではガンマとボラティリティは逆の関係。ボラティリティが上昇するとガンマが下がる
140710_1

2. ボラティリティとオプション・プレミアムの関係
→ これは簡単に1対1の関係。ボラティリティが上昇するとプレミアムも上昇
140710_2

3. ATMFにおけるボラティリティとベガの関係
→ 一定レベル以上でのボラティリティの変動はベガにあまり影響を与えない
→ 低ボラティリティ環境下においては1ベガあたりのPLへの影響が大きい(本当か?)
140710_3

4. OTMにおけるボラティリティとベガの関係
→ ボラティリティが上昇するとベガも上昇。DeepOTMになるほどその影響は小さくなる
140710_4

5. 異なる原資産水準でのATMFの行使価格とベガの関係
→ 原資産の水準が高いほどベガは大きくなる
140710_5

6. 原資産価格とボルガ(ボラティリティの2階微分)の関係
→ 3で見たように、ATM近辺ではボラティリティが上昇してもベガはあまり変化しない(ボルガ≒0)
→ 4で見たように、ATM以外の領域ではボルガが正 = ボラティリティが上昇するとベガも上昇する
140710_6

7. 異なるボラティリティ水準でのボルガの変化
→ ATMではボラティリティ水準によらずボルガはほぼゼロ
→ OTMは知らん。というかボルガってオプショントレーダーでもあるまいし普通見るんかね。よう知らんけど。
140710_7

8. 原資産とゾンマの関係
→ あんのかなーと思ったら案の定あった謎のGreeksゾンマ。ガンマをボラティリティで微分したもの。
→ 1で見たように、ATM付近ではゾンマが負なのでボラティリティとガンマが逆関係。ATMから外れるとゾンマがプラスになり、ボラティリティが上昇するとガンマも上昇する。
140710_8

グリークスの名前メモ
$$
{\rm vega} = \frac{{\partial }V}{{\partial } \sigma} \\
{\rm volga} = \frac{{\partial }^2 V}{{\partial } \sigma^2} \\
{\rm zomma} = \frac{{\partial } \Gamma}{{\partial } \sigma} = \frac{{\partial }^3 V}{{\partial } S^2 {\partial } \sigma}
$$

他にも面白いGreeksがあるみたいなんで興味がある方はWikipedia見ると面白いと思います。
正直3次以降のGreeksをどう解釈したら良いのかよく分かりませんが。

Rコード

感度分析を行うとオブジェクトのパラメータを上書きしてしまうのが致命的ですがこのクラスは練習用なのでそのままにしておきます。

参考文献

Greeks (finance) – Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_(finance)

Rのオブジェクト指向について(R) – script of bioinformatics
https://sites.google.com/site/scriptofbioinformatics/r-tong-ji-guan-xi/rnoobujekuto-zhi-xiangnitsuite-r